German Title: Effektive Wirkungen für stark wechselwirkende fermionische Systeme

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Abstract

We compare different non-perturbative methods for calculating the effective action for fermionic systems featuring bosonic bound states (BBS) and spontaneous symmetry breaking (SSB). In a purely fermionic language proceeding into the SSB phase requires techniques beyond perturbation theory and renormalization group equations. Improvement comes from a description with BBS fields and elementary fields treated on equal footing. Yet, ``partial bosonization'' introduces an arbitrariness as the choice for the composite fields is usually not completely determined by the classical action. Results of approximate calculations, e.g. mean field theory, may depend strongly on this choice, thus limiting their quantitative reliability. Using the Nambu--Jona-Lasinio model as an example we demonstrate how this dependence can be reduced, sometimes even be eliminated by suitably chosen approximations. Schwinger-Dyson equations (SDE) allow for a description of SSB without auxiliary fields. The 2PI effective action enables us to compare different solutions of the SDE and find the stable one. We apply this method to a six-fermion interaction resembling the three-flavor instanton interaction in QCD. We find a first order chiral phase transition but no stable phase with broken color symmetry. The existence of an elementary scalar boson in the Standard Model -- the Higgs -- raises several questions. The smallness of its mass compared to some fundamental scale ($\sim M_{\textrm{GUT}}$) requires an extreme amount of fine-tuning. Moreover, its $\phi^4$-potential may not be renormalizable in a strict sense. In view of this we discuss the possibility of a Higgs as BBS of fermions.

Translation of abstract (German)

Wir vergleichen verschiedene nicht-störungstheoretische Methoden zur Beschreibung fermionischer Systeme, die gebundene bosonische Zustände (BBS) und spontane Symmetriebrechung (SSB) aufweisen. In einer rein fermionischen Sprache erfordert das Eindringen in die SSB Phase Techniken jenseits von Störungstheorie und Renormierungsgruppengleichungen. Dazu ist eine Beschreibung, die BBS und elementare Teilchen gleichberechtigt behandelt, besser geeignet. Die ``Partielle Bosonisierung'' führt aber zu einer Willkür in der Wahl der BBS Felder, da diese durch die klassische Wirkung nicht eindeutig festgelegt ist. Die Ergebnisse approximativer Rechnungen, z.B. mean field theory, können aber von dieser Wahl abhängen. Dies beschränkt die quantitative Aussagekraft. Am Beispiel des Nambu--Jona-Lasinio-Modells zeigen wir, wie diese Abhängigkeit durch geeignet gewählte Approximationen reduziert und manchmal sogar zum Verschwinden gebracht werden kann. Schwinger-Dyson-Gleichungen (SDE) erlauben eine Beschreibung von SSB ohne Hilfsfelder. Die 2PI-Wirkung ermöglicht es uns, verschiedene Lösungen der SDE zu vergleichen und so die stabile zu finden. Diese Methode wenden wir auf eine sechs-Fermion Wechselwirkung an, die der drei-Flavor-Instantonwechselwirkung der QCD ähnelt. Wir finden einen Phasenübergang erster Ordnung in die chiral gebrochene Phase, aber keine stabile Phase mit gebrochener color-Symmetrie. Die Existenz eines elementaren skalaren bosonischen Teilchens im Standardmodell -- dem Higgs -- führt zu mehreren Fragen. Die mit fundamentalen Skalen ($\sim M_{\textrm{GUT}}$) verglichen kleine Masse erfordert ein extremes Maß an Finetuning. Außerdem ist das $\phi^4$-Potential möglicherweise nicht renormierbar im strengen Sinne. Im Hinblick darauf diskutieren wir die Möglichkeit, daß das Higgs ein BBS aus Fermionen ist.