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Abstract

In this thesis we develop a numerical solution method for the instationary incompressible Navier-Stokes equations. The approach is based on projection methods for discretization in time and a higher order discontinuous Galerkin discretization in space. We propose an upwind scheme for the convective term that chooses the direction of flux across cell interfaces by the mean value of the velocity and has favorable properties in the context of DG. We present new variants of solenoidal projection operators in the Helmholtz decomposition which are indeed discrete projection operators. The discretization is accomplished on quadrilateral or hexahedral meshes where sum-factorization in tensor product finite elements can be exploited. Sum-factorization significantly reduces algorithmic complexity during assembling. In this thesis we thereby build efficient scalable matrix-free solvers and preconditioners to tackle the arising subproblems in the discretization. Conservation properties of the numerical method are demonstrated for both problems with exact solution and turbulent flows. Finally, the presented DG solver enables long time stable direct numerical simulations of the Navier-Stokes equations. As an application we perform computations on a model of the atmospheric boundary layer and demonstrate the existence of surface renewal.

Translation of abstract (German)

In der vorliegenden Arbeit wird eine numerische Methode zur Lösung der instationären inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen entwickelt. Die Methode basiert in der Zeitdiskretisierung auf Projektionsverfahren und verwendet in der Ortsdiskretisierung ein DG-Verfahren höherer Ordnung. Ein Upwinding des Konvektionsterms wird vorgeschlagen, welches die Richtung des Flusses über die Gitterelemente durch den Mittelwert der Geschwindigkeit wählt und im Zusammenhang mit DG-Verfahren vorteilhaft ist. Neue Klassen von divergenzfreien Projektionsoperatoren in der Helmholtz-Zerlegung werden vorgestellt, welche tatsächlich diskrete Projektionsoperatoren sind. Die Diskretisierung geschieht auf Vierecksgittern oder Hexaedergittern, auf denen die Tensorproduktstruktur in Finiten Elementen für Summenfaktorisierung ausgenutzt werden kann. Summenfaktorisierung reduziert die algorithmische Komplexität im Assemblierungsprozess wesentlich. Damit werden im Rahmen dieser Arbeit effiziente, skalierbare matrixfreie Löser und Vorkonditionierer entwickelt, welche die Teilprobleme innerhalb der Diskretisierung lösen. Erhaltungseigenschaften des numerischen Verfahrens werden sowohl für Probleme mit exakter Lösung als auch für turbulente Strömungen demonstriert. Schließlich ermöglicht der vorgestellte DG-basierte Löser langzeitstabile direkte numerische Simulationen der Navier-Stokes Gleichungen. Eine Anwendung ist die Berechnung eines Modells für die Grenzschicht von Boden und Atmosphäre, welche das Vorhandensein der Oberflächenerneuerungstheorie zeigt.