German Title: Multiple Shooting mit Gitteradaption für PDE beschränkte Optimierungsprobleme

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Abstract

In this thesis, multiple shooting methods for optimization problems constrained by partial differential equations are developed, and, furthermore, a posteriori error estimates and local mesh refinement techniques for these problems are derived. Two different approaches, referred to as the direct and the indirect multiple shooting approach, are developed. While the first approach applies multiple shooting to the constraining equation and sets up the optimality system afterwards, in the latter approach multiple shooting is applied to the optimality system of the optimization problem. The setup of both multiple shooting methods in a function space setting and their discrete analogs are discussed, and different solution and preconditioning techniques are investigated. Furthermore, error representation formulas based on Galerkin orthogonality are derived. They involve sensitivity analysis by means of an adjoint problem and employ standard error representation on subintervals combined with additional projection errors at the shooting nodes. A posteriori error estimates and mesh refinement indicators are derived from this error representation. Several mesh structures originating from different restrictions to local refinement are discussed. Finally, numerical results for the solid state fuel ignition model are presented. This model describes an explosive system that does not allow the solution by standard solution techniques on the whole time domain and is a typical example for the application of time domain decomposition methods like multiple shooting.

Translation of abstract (German)

In dieser Doktorarbeit werden Multiple Shooting Verfahren für durch partielle Differentialgleichungen beschränkte Optimierungsprobleme entwickelt und zusätzlich a posteriori Fehlerschätzer und Methoden zur lokalen Gitterverfeinerung für diese Probleme ausgearbeitet. Es werden zwei unterschiedliche Ansätze, welche als direkter und indirekter Ansatz eines Multiple Shooting Verfahrens bezeichnet werden, betrachtet. Während der erste Ansatz das Multiple Shooting Verfahrens für die beschränkende Differentialgleichung ansetzt und anschließend das Optimalitätssystem aufstellt, wendet der letztere das Multiple Shooting Verfahren auf das Optimalitätssystem an. Die Darstellung beider Ansätze im Funktionenraum und die diskreten Entsprechungen werden diskutiert, und verschiedene Lösungs- und Vorkonditionierungstechniken werden untersucht. Des weiteren werden basierend auf Eigenschaften der Galerkinorthogonalität Fehlerdarstellungen hergeleitet. Diese beinhalten eine Sensitivitätsanalyse anhand von adjungierten Problemen und verwenden Fehlerdarstellungen auf Teilintervallen zusammen mit zusätzlichen Projektionsfehlern an den Zeitknoten des Multiple Shooting Verfahrens. Ausgehend von dieser Darstellung werden a posteriori Fehlerschätzer und Indikatoren für die Gitterverfeinerung hergeleitet. Verschiedene Gitterstrukturen, welche aus unterschiedlichen Restriktionen an die lokale Verfeinerung resultieren, werden diskutiert. Abschließend werden numerische Ergebnisse für ein Modell, welches die Zündungsphase eines Festkörperbrennstoffes beschreibt, angegeben. Dieses Modell beschreibt ein explosives Systems, das die Lösung mit Standardverfahren auf dem gesamten Zeitgebiet nicht zulässt, und das daher ein typisches Beispiel für die Anwendung von Zeitgebietszerlegungsmethoden, wie zum Beispiel Multiple Shooting Verfahren, darstellt.