English Title: A generalisation of Zhang's local Gross-Zagier formulas

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Abstract

Ausgangspunkt dieser Arbeit ist das Umfeld der lokalen Gross-Zagier-Formeln von Zhang, die einen quantitativen Zusammenhang herstellen zwischen speziellen lokalen Koeffizienten (Local Linking Numbers) einer verallgemeinerten Höhenpaarung und Produkten lokaler Neuformen einer Rankin-Selberg-Faltung automorpher Darstellungen. Hier hingegen werden qualitativen Aussagen über die Verwandtschaft des Raums aller Local Linking Numbers mit dem Raum aller Produkte von Fourierkoeffizienten untersucht. Erste Anzeichen solcher Gemeinsamkeiten finden sich bereits bei Jacquet. Die Methoden, die hierzu verwendet werden, sind durchgehend explizit-konstruktiver Natur. Insbesondere wird ein Matching der genannten Räume bewiesen. Desweiteren wird das Verhalten der Local Linking Numbers unter einer Translation untersucht, mit deren Hilfe dann ein Operator etabliert wird, der als ein geometrisches Pendant zum analytischen Heckeoperator interpretiert wird. Die lokalen Gross-Zagier-Formeln werden schließlich mit Hilfe dieser Ergebnisse erneut formuliert, womit diese ihre Tauglichkeit unter Beweis stellen.

Translation of abstract (English)

The starting point of this thesis is the setting of Zhang's local Gross-Zagier formulas. These establish a quantitative connection between the products of local newforms related to a Rankin-Selberg convolution of automorphic representations and special local coefficients (so called local linking numbers) of a generalised height pairing. In contrast, the present work is concerned with qualitative assertions between the space of all local linking numbers and the space of all products of Fourier coefficients. First hints at such similarities are due to Jacquet. The methods used here are always of explicit-constructive nature. In particular, a matching of the two spaces mentioned above is proved. Further, the properties of local linking numbers under a suitable translation is studied in oder to establish an operator which will be interpreted as a geometric version of the analytic Hecke operator afterwards. Finally, the local Gross-Zagier formulas are reformulated using these results, showing their suitability.