German Title: Viskose Strömung in verzweigten Kanälen und Röhren

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Abstract

In the present thesis the flow of a viscous Newtonian fluid in a bifurcation of thin three-dimensional pipes with a diameter-to-length ratio of order O(epsilon) is studied. The model is based on the steady-state Navier-Stokes equations with pressure conditions on the in- and outflow boundaries. Existence and local uniqueness is proven under the assumption of small data represented by a Reynolds number Re of order O(epsilon). Our aim is to construct an asymptotic expansion in powers of epsilon and Re for the solution of this Navier-Stokes problem. In the first part of the thesis we therefore present a formal method of computing the pressure drop and the flux based on Poiseuille flow. In contrast to the existing literature, we also analyze the influence of the bifurcation geometry on the fluid flow by introducing local Stokes problems in the junction. We show that the solutions of these Stokes problems in the junction of diameter O(M) approximate the solutions of the corresponding Leray problems in the infinite bifurcation up to an error decaying exponentially in M. In the second part of the thesis, the construction of the approximation for the Navier-Stokes solution is presented and its properties are discussed. The approximation is based on the idea of a continuous matching of the Poiseuille velocity to the solution of the junction problem on each pipe-junction interface. The main result of our analysis is the derivation of error estimates for the approximation in powers of epsilon and Re according to the designated approximation accuracy. The obtained results generalize and improve the existing ones in literature. In addition, our results show that Kirchhoff's law of the balancing fluxes has to be corrected in O(epsilon) in order to obtain an adequate error estimate for the gradient of velocity.

Translation of abstract (German)

Die vorliegende Arbeit behandelt die Strömung einer viskosen Newtonschen Flüssigkeit in einer Verzweigung dreidimensionaler Kapillaren, deren Verhältnis von Durchmesser zu Länge von Ordnung O(epsilon) ist. Ausgangspunkt des Modells sind die stationären Navier-Stokes-Gleichungen mit Druckrandbedingungen an den Zu- bzw. Abflußrändern. Unter der Annahme kleiner Daten, d.h. einer Reynolds-Zahl Re von Ordnung O(epsilon), wird ein Existenz- und lokales Eindeutigkeitsresultat bewiesen. Ziel ist die Konstruktion einer asymptotischen Entwicklung in Potenzen von epsilon und Re, um die Lösung dieses Navier-Stokes-Problems zu approximieren. Im ersten Teil der Arbeit stellen wir dazu eine formale Methode zur Berechnung von Druckabfall und Durchfluß basierend auf Poiseuille-Strömungen vor. Im Gegensatz zu bisherigen Ergebnissen in der Literatur untersuchen wir dabei auch den Einfluß der Geometrie der Verzweigung auf die Strömung durch die Einführung lokaler Stokes-Probleme im Verzweigungsbereich. Wir zeigen, daß die Lösungen dieser Stokes-Probleme in der Verzweigung von Durchmesser O(M) die Lösungen der entsprechenden Leray-Probleme in der unendlichen Verzweigung bis auf einen in M exponentiell abfallenden Fehler approximieren. Im zweiten Teil der Arbeit werden der Aufbau der Approximation für die Navier-Stokes-Lösung dargestellt und ihre Eigenschaften diskutiert. Die Approximation basiert dabei auf der Idee, die Poiseuille-Geschwindigkeiten jeder Röhre auf den Grenzflächen mit der Verzweigung stetig an die Lösung des Stokes-Problems anzufügen. Als Hauptresultat unserer Analyse werden Fehlerabschätzungen in Potenzen von epsilon und Re gemäß der verwendeten Approximationsgenauigkeit abgeleitet. Die erzielten Ergebnisse verallgemeinern und verbessern die bisher in der Literatur existierenden Resultate. Weiterhin wird gezeigt, daß das Kirchhoffsche Gesetz des Gleichgewichts der Flüsse in Ordnung O(epsilon) korrigiert werden muß, um eine hinreichend genaue Approximation für den Geschwindigkeitsgradienten zu erhalten.