German Title: Strukturtheoreme für gewisse vektorwertige Siegelsche Modulformen vom Geschlecht zwei

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Abstract

The aim of this thesis is to develop two structure theorems for vector valued Siegel modular forms for Igusa’s subgroup Γ_2[2,4], the multiplier system induced by the theta constants and the symmetric square of the standard representation Sym^2 : GL(2,C) → Sym^2(C^2). The thesis rests on the well-known fact that every holomorphic tensor on the upper half-space H_2 that is invariant under Γ_2[2,4] is associated to a vector valued modular form. We define a space of meromorphic tensors that are holomorphic outside a divisor and become holomorphic after a pullback along certain covering maps. Afterwards, we show that Γ_2[2,4]-invariant tensors on H_2 correspond to this particular space of tensors on the quotient space Γ_2[2,4] \ H_2 with poles along the ramification divisor. As an immediate consequence of a theorem by Runge, Γ_2[2,4] \ H_2 is embedded into the projective space P^3C and its complement is an analytic set of codimension 2. The ramification divisor is given by 10 simple quadrics. Therefore, we shall describe the aforementioned modular forms with weights in 3Z or 1 + 3Z as rational tensors. The tensors with weights in 6Z or 1 + 6Z possess easily handleable poles along the 10 quadrics. It can be shown that these modular forms are contained in the module generated by the Rankin-Cohen brackets of the four theta series of the second kind. We extend this result to arbitrary weights by a simple argument from algebraic geometry.

Translation of abstract (German)

Das Ziel dieser Doktorarbeit ist es zwei Struktur-Theoreme für vektorwertige Siegelsche Modulformen zu Igusas Untergruppe Γ_2[2,4], dem durch die Theta-Reihen zweiter Art induziertem Multiplikatorsystem und dem symmetrischen Quadrat der Standard-Darstellung Sym^2 : GL(2,C) → Sym^2(C^2) zu entwickeln. Die Arbeit beruht auf der wohlbekannten Tatsache, dass jeder holomorphe Tensor auf der oberen Halbebene H_2, der unter Γ_2[2,4] invariant ist, als eine vektorwertige Modulform aufgefasst werden kann. Man definiert einen Raum von meromorphen Tensoren, die holomorph außerhalb eines Divisors sind und deren Pullbacks entlang gewisser Überlagerungen holomorph werden. Die so spezifizierten Tensoren auf dem Quotientenraum Γ_2[2,4] \ H_2 mit Polen entlang des Verzweigungsdivisors entsprechen gerade den Γ_2[2,4]-invarianten Tensoren auf H_2. Es folgt aus einem Satz von Runge, dass Γ_2[2,4] \ H_2 in den projektiven Raum P^3C eingebettet ist und dass das Komplement eine analytische Menge der Kodimension 2 ist. Der Verzweigungsdivisor wird durch zehn einfache Quadriken gegeben. Deshalb lassen sich die im ersten Abschnitt beschriebenen Modulformen mit Gewichten aus 3Z oder 1 + 3Z als rationale Tensoren beschreiben. Die Tensoren mit Gewichten aus 6Z oder 1 + 6Z besitzen einfach handhabbare Pole entlang der zehn Quadriken. Man kann zeigen, dass diese Modulformen in dem Modul enthalten sind, welcher von den Rankin-Cohen-Klammern der vier Theta-Reihen zweiter Art erzeugt wird. Mit einfachen Methoden der algebraischen Geometrie lässt sich dieses Resultat für beliebiges Gewicht verallgemeinern.