English Title: Integrals of hypersurfaces in "advanced calculus" courses

Preview

PDF, German Download (284kB) | Terms of use

Abstract

Integrale über differenzierbare Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raumes und der Gauß’sche Integralsatz spielen im Grundstudium der Analysis eine wichtige Rolle, insbesondere weil sie später häufig benutzt werden. Dieser Artikel macht didaktische Vorschläge mit einer gemeinsamen Grundidee – erst für die Einführung des Integrals über Hyperflächen (ohne Rand) und dann für einen Beweis des Gauß'schen Integralsatzes bei glattem Rand. Dabei soll insbesondere die Gram'sche Determinante als Resultat einer einfachen, aber rigorosen Rechnung auftreten, ohne zuvor mit geometrisch einfachen Spezialfällen (wie Parallelotopen) motiviert worden zu sein. Der Weg ist inspiriert durch den Minkowski-Inhalt, verwendet aber nur Mittel des Analysis-Grundstudiums. Der Beweis des Gauß'schen Integralsatzes beruht auf den beiden Integraldarstellungen in Reynolds' Transporttheorem, die üblicherweise (nur) als Folgerung erwähnt werden.