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Hermann von Helmholtz
Ueber die thatsächlichen Grundlagen der Geometrie.

Aus den Verhandlungen des naturhistorisch-medicinischen Vereins zu Heidelberg. Bd. IV. S. 197-202. 22, Mai 1866. — Zusatz ebenda. Bd. V. S. 31-32. 30. April 1869.


Die Untersuchungen über die Art, wie Localisation im Gesichtsfelde zu Stande kommt, haben den Vortragenden veranlasst, auch über die Ursprünge der allgemeinen Raumanschauung überhaupt nachzudenken. Es giebt hier zunächst eine Frage, deren Beantwortung jedenfalls in das Gebiet der exacten Wissenschaften gehört, nämlich die, welche Sätze der Geometrie Wahrheiten von tatsächlicher Bedeutung aussprechen, welche dagegen nur Definitionen oder Folgen von Definitionen und der besonderen gewählten Ausdrucksweise sind. Diese Untersuchung ist ganz unabhängig von der weiteren Frage, woher unsere Kenntniss der Sätze von thatsächlicher Bedeutung herstammt. Die erstgenannte Frage ist deshalb nicht so leicht, wie es wohl häufig geschieht,, zu entscheiden, weil die Raumgebilde der Geometrie Ideale sind, denen sich die körperlichen Gebilde der wirklichen Welt immer nur nähern können, ohne jemals der Forderung des Begriffes vollständig zu genügen, und weil wir über die Unveränderlichkeit der Form, die Richtigkeit der Ebenen und geraden Linien, die wir an einem festen Körper finden, gerade mittels derselben geometrischen Sätze die Prüfung anstellen müssen, welche wir an dem betreffenden Beispiele etwa thatsächlich zu beweisen unternehmen wollten.

Andererseits kann man sich durch leichte Ueberlegungen überzeugen, dass, wie auch der weitere Verlauf dieses Vortrages zeigen wird, die Reihe der gewöhnlich in der elementaren Geometrie hingestellten geometrischen Axiome ungenügend ist; dass in der That stillschweigend noch eine Reihe von einigen weiteren Thatsachen vorausgesetzt wird. Man hat zwar in neueren Lehrbüchern die Axiome des Euklides noch zu ergänzen versucht, es fehlte aber ein Princip, mittels dessen man erkennen konnte, ob die Ergänzung vollständig sei. Da wir nämlich nur solche Raumverhältnisse uns anschaulich vorstellen können, welche im wirklichen Räume möglicher Weise darstellbar sind, so verführt uns diese Anschaulichkeit leicht dazu, etwas als selbstverständlich vorauszusetzen, was in Wahrheit eine besondere und nicht selbstverständliche Eigenthümlichkeit der uns vorliegenden Aussenwelt ist.

Dieser Schwierigkeit überhebt uns die analytische Geometrie, welche mit reinen Grössenbegriffen rechnet, und zu ihren Beweisen keine Anschauung braucht. Es konnte also zur Entscheidung der erwähnten Frage der Weg betreten werden, nachzusuchen, welche analytischen Eigenschaften des Raumes und der Raumgrössen für die analytische Geometrie vorausgesetzt werden müssten, um deren Sätze vollständig von Anfang her zu begründen.

Der Vortragende hatte eine solche Untersuchung begonnen und auch der Hauptsache nach schon fertig gemacht, als die Habilitationsvorlesung von Riemann ,,über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen'' veröffentlicht wurde, in welcher die gleiche Untersuchung mit unwesentlich abweichender Fragestellung durchgeführt ist. Bei dieser Gelegenheit erfuhren wir, dass auch Gauß sich mit demselben Thema beschäftigt hat, und dass seine berühmte Abhandlung über die Krümmung der Flächen der einzige veröffentlichte Theil dieser Untersuchung ist.

Riemann beginnt damit, dass er auseinandersetzt, wie die allgemeinen Eigenthümlichkeiten des Raumes, seine Continuirlichkeit, die Vielfältigkeit seiner Dimensionen analytisch dadurch ausgedrückt werden können, dass jedes besondere Einzelne in der Mannigfaltigkeit, die er darbietet, das heißt also jeder Punkt, bestimmt werden könne durch Abmessung von n continuirlich und unabhängig von einander veränderlichen Grössen (Coordinaten). Wenn n dergleichen nöthig sind, so ist der Raum eine, wie er es nennt, nfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, und wir schreiben ihm n Dimensionen zu.

Eine ähnliche, dreifach ausgedehnte Mannigfaltigkeit ist auch das System der Farben.

Nun ist im Raume jedes Linienelement, wie es auch gerichtet sein mag, der Grösse nach vergleichbar mit jedem andern. Sind u, v, w Abmessungen irgend welcher Art, welche die Lage eines Punktes bestimmen, und u + du, v + dv, w + dw die eines benachbarten, so ist das Maass des Linienelementes ds in unserem wirklichen Raume jedenfalls die Quadratwurzel aus einer homogenen Function zweiten Grades der Grössen du, dv, dw, welches auch die Natur der Abmessungen u, v, w sein mag. Wir können diesen Satz als die allgemeinste Form des Pythagoräischen Lehrsatzes bezeichnen. Er bildet gleichsam den Angelpunkt der ganzen Untersuchung; er hat einen hohen Grad von Allgemeinheit, da er von der Festsetzung irgend eines besonderen Messungssystems ganz unabhängig ist.

Diesen Ausdruck für das Linienelement nimmt Riemann als Hypothese an, indem er nachweist, dass er die einfachste, algebraische Form sei, die den Bedingungen der Aufgabe entspricht. Aber er erkennt dies ausdrücklich als Hypothese an und erwähnt die Möglichkeit, dass ds vielleicht auch als vierte Wurzel einer homogenen Function vierten Grades von du, dv und dw angesehen werden könne. Der fernere Gang von Riemann's Untersuchung wird am anschaulichsten, wenn wir uns auf zwei Dimensionen beschränken. Dann folgt schon aus der Untersuchung von Gaus's über die Krümmung der Flächen, dass die allgemeinste Form eines Raumes von zwei Dimensionen, in welchem für das Linienelement die erwähnte allgemeinste Form des Pythagoräischen Satzes gilt, eine beliebige krumme Fläche unseres factischen Raumes sei, in welcher die Raumbestimmungen nach den gewöhnlichen Regeln der analytischen Geometrie. gemacht werden.

Sollen Figuren von endlicher Grösse nach allen Theilen einer solchen Fläche ohne Veränderung ihrer in der Fläche selbst zu machenden Abmessungen beweglich sein und um jeden beliebigen Punkt gedreht werden können, so muss die Fläche in allen ihren Theilen constantes Krümmungsmaass haben, das heisst eine Kugelfläche sein, oder durch Biegung ohne Dehnung aus einer solchen entstanden sein.

Soll die Ausdehnung einer solchen Fläche unendlich sein, so muss sie eine Ebene sein, oder aus einer solchen durch Biegung ohne Dehnung erzeugt werden.

Diese Sätze erweitert nun Riemann auf beliebig viele Dimensionen, zeigt, wie in diesem Falle das Krümmungsmaass zu bestimmen sei. Die allgemeinste Form eines Raumes von drei Dimensionen ist, wie aus dieser Untersuchung folgt, ein durch drei beliebige Gleichungen beschränktes Raumgebild im Raume von sechs Dimensionen.

Nachdem er die allgemeine Aufgabe gelöst, beschränkt er schliesslich die Lösung durch die hinzugefügte Forderung, dass endliche Raumgebilde ohne Formveränderung überall hin beweglich und in jeder Richtung drehbar seien. Dann muss das Krümmungsmaass eines solchen imaginären Raumes constant sein, und soll derselbe unendlich ausgedehnt sein, so muss jenes Maass gleich Null sein. Im letzteren Falle hat ein solcher Raum dieselben Attribute wie unser wirklicher Raum, und kann den imaginären Räumen höherer Dimensionen gegenüber als eben bezeichnet werden.

Meine eigene Untersuchung mit ihren Resultaten ist grösstentheils implicite in der von Riemann schon enthalten. Nur in einer Beziehung fügt sie Neues hinzu, betreffs der Begründung nämlich des verallgemeinerten Pythagoräischen Satzes, wie Riemann ihn als Ausgangspunkt seiner Untersuchung gebraucht. Die Forderung nämlich, welche Riemann erst am Schlusse seiner Untersuchung einführt, dass Raumgebilde ohne Formveränderung denjenigen Grad von Beweglichkeit haben sollen, den die Geometrie voraussetzt, hatte ich von Anfang an eingeführt, und diese Forderung beschränkt dann die Möglichkeit der Hypothesen, die man für den Ausdruck des Linienelementes machen kann, so weit, dass nur die von Riernaun acceptirte Form mit Ausschluss aller übrigen übrig bleibt.

Mein Ausgangspunkt war der, dass alle ursprüngliche Raummessung auf Constatirung von Congruenz beruht, und dass also das System der Raummessung diejenigen Bedingungen voraussetzen muss, unter denen allein von Constatirung der Congruenz die Rede sein kann.

Die Voraussetzungen meiner Untersuchung sind:

1) Die Continuität und Dimensionen betreffend. Im Räume von n Dimensionen ist der Ort jedes Punktes bestimmbar durch Abmessung von n continuirlich veränderlichen, von einander unabhängigen Grössen, sodass (mit eventueller Ausnahme gewisser Punkte, Linien, Flächen, oder allgemein, gewisser Gebilde von weniger als n Dimensionen) bei jeder Bewegung des Punktes sich diese als Coordinaten dienenden Grössen continuirlich verändern und mindestens eine von ihnen nicht unverändert bleibt.

2) Die Existenz beweglicher und in sich fester Körper betreffend. Zwischen den 2n Coordinaten eines jeden Punktpaares eines in sich festen Körpers, der bewegt wird, besteht eine Gleichung, welche für alle congruenten Punktpaare die gleiche ist.

Obgleich hier gar nichts weiter über die Art dieser Gleichung gesagt ist, ist sie doch in enge Grenzen eingeschlossen, weil nämlich für m Punkte m (m-1)/2 Gleichungen bestehen, in denen m n unbekannte Grössen enthalten sind, von denen wiederum noch n (n-1) /2 willkürlich veränderlich bleiben müssen, wegen des nächsten Postulats. Ist m also grösser als (n + 1), so bestehen mehr Gleichungen als Unbekannte, und da alle diese Gleichungen in analoger Art gebildet sein müssen, so ist dies eine Bedingung, die nur durch besondere Arten von Gleichungen erfüllt werden kann.

3) Die freie Beweglichkeit betreffend. Jeder Punkt kann auf continuirlichem Wege zu jedem anderen übergehen. Für die verschiedenen Punkte eines und desselben in sich festen Systems bestehen nur die Einschränkungen der Bewegungen, welche durch die zwischen den Coordinaten von je zwei Punkten bestehenden Gleichungen bedingt sind.

Aus 2 und 3 folgt, dass, wenn ein festes Punktsystem A in einer gewissen Lage mit einem zweiten B zur Congruenz gebracht werden kann, dasselbe auch in jeder anderen Lage von A geschehen kann. — Denn auf demselben Wege, wie A in die zweite Lage geführt ist, kann auch B dahin geführt werden.

4) Die Unabhängigkeit der Form fester Körper von der Drehung betreffend. Wenn ein Körper sich so bewegt, dass n-1 seiner Punkte unbewegt bleiben, und diese so gewählt sind, dass jeder andere Punkt des Körpers nur noch eine Linie durchlaufen kann, so führt fortgesetzte Drehung ohne Umkehr in die Anfangslage zurück.

Dieser letzte Satz, der, wie die Untersuchung zeigt, von den vorausgehenden nicht implicirt ist, entspricht der Eigenschaft, die wir bei ITunctionen complexer Grössen die Monodromie nennen.

Sobald diese vier Bedingungen erfüllt werden sollen, folgt auf rein analytischem Wege, dass eine homogene Function zweiten Grades der Grössen du, dv, dw existirt, welche bei der Drehung unverändert bleibt, und also ein von der Richtung unabhängiges Maass des Linienelementes giebt. [Der mathematische Beweis wird zunächst in den Sitzungsberichten der Göttinger Königl. Gesellschaft ausführlich gegeben werden.]

Damit ist Riemann's Ausgangspunkt gewonnen, und es folgt auf dem von ihm betretenen Wege weiter, dass, wenn die Zahl der Dimensionen auf drei festgestellt, und die unendliche Ausdehnung des Raumes gefordert wird, keine andere Geometrie möglich ist, als die von Euklides gelehrte.

Das erste Postulat, welches auch Riemann aufgestellt hat, ist nichts als die analytische Definition der Begriffe der Continuirlichkeit des Raumes und seiner mehrfachen Ausdehnung.

Die Postulate 2 bis 4 müssen offenbar als erfüllt vorausgesetzt werden, wenn überhaupt von Congruenz die Rede sein soll. Also sind diese Annahmen die Bedingungen für die Möglichkeit der Congruenz, und liegen, wenn auch meist nicht deutlich ausgesprochen, den elementaren Beweisen der Geometrie, die alle Raummessung auf Gongruenz gründet, zu Grunde.

Das System dieser Postulate macht also keine Voraussetzungen, die die gewöhnliche Form der Geometrie nicht auch machte; es ist vollständig und genügend auch ohne die speciellen Axiome über die Existenz gerader Linien und Ebenen, und ohne das Axiom über die Parallellinien. In theoretischer Beziehung hat es den Vorzug, dass seine Vollständigkeit sich leichter controliren lässt.

Hervorzuheben ist, dass hierbei deutlicher heraustritt, wie ein bestimmter Charakter der Festigkeit und ein besonderer Grad von Beweglichkeit der Naturkörper vorausgesetzt wird, damit ein solches Messungssystem wie das in der Geometrie gegebene überhaupt eine thatsächliche Bedeutung haben könne. Die Unabhängigkeit der Congruenz fester Punktsysteme von Ort, Lage und relativer Drehung derselben ist die Thatsache, auf welche die Geometrie gegründet ist.

Das tritt noch deutlicher hervor, wenn wir den Raum vergleichen mit anderen mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten, zum Beispiel dem Farbensystem. So lange wir in diesem keine andere Methode der Messung haben als die durch das Mischungs- gesetz gegebene, so besteht nicht wie im Raume zwischen je zwei Punkten eine Grössenbeziehung, die mit der zwischen zwei anderen verglichen werden kann, sondern erst zwischen Gruppen von je drei Punkten, die noch dazu in gerader Linie liegen müssen (d. h. zwischen Gruppen von je drei Farben, von denen eine aus den beiden anderen mischbar ist).

Eine andere Abweichung finden wir im Sehfelde je eines Auges, wo keine Drehungen möglich sind, so lange wir auf die natürlichen Augenbewegungen beschränkt bleiben. Welche eigentümlichen Aenderungen daraus für die Abmessungen durch das Augenmaass sich ergeben, habe ich in meinem Handbuche der physiologischen Optik und in einem früher hier gehaltenen Vortrage (5. Mai 1865) auseinandergesetzt.

Wie jede physikalische Messung muss auch die des Raumes sich auf ein unveränderliches Gesetz der Gleichförmigkeit in den Naturerscheinungen stützen.


(Zusatz) 1868.

In jenem Aufsatze ist ein Auszug von meinen eigenen Untersuchungen gegeben, welche den Beweis lieferten, dass wenn wir den Grad von Festigkeit und von Beweglichkeit der Naturkörper, der unserem Raume zukommt, in einem Raume von übrigens unbekannten Eigenschaften zu finden verlangen, das Quadrat des Linienelementes ds eine homogene Function zweiten Grades der unendlich kleinen Incremente der willkürlich gewählten Coordinaten u, v, w sein müsse. Dieser Satz ist dort als die allgemeinste Form des Pythagoräischen Lehrsatzes bezeichnet. Durch den Beweis dieses Satzes ist die Voraussetzung der Riemann'schen Untersuchungen über den Raum gewonnen. An diesem Theile meiner Arbeit, habe ich nichts zu ändern gefunden.

Aber ich habe ausserdem dort eine kurze Uebersicht der weiteren Consequenzen der Riemann'schen Untersuchungen gegeben, mich dabei stützend auf einen noch nicht veröffentlichten und nicht vollständig durchgearbeiteten Theil meiner Untersuchungen, in welchen sich ein Fehler eingeschlichen hat, indem ich damals nicht erkannte, dass eine gewisse Constante, die ich reell nehmen zu müssen glaubte, auch einen Sinn gebe, wenn sie imaginär genommen werde. Die dort aufgestellte Behauptung, dass der Raum, wenn er unendlich ausgedehnt sein solle, nothwendig eben (im Sinne Riemann's) sein müsse, ist falsch.

Es geht dies namentlich hervor aus den höchst interessanten und wichtigen Untersuchungen von Hrn. Beltrami Saggio di interpretazione della Geometria Non-Euclidea, Napoli 1868, und Teoria fundamentale degli spazii di Curvatura costante, Annali di Matematica, Ser. II. Tomo II. Fasc. III. pag. 232-255; in welchen er die Theorie der Flächen und Räume von constantem negativem Krümmungsmaass untersucht und ihre Uebereinstimmung mit der schon früher aufgestellten imaginären Geometrie von Lobatschewsky nachgewiesen hat. In dieser ist der Raum unendlich ausgedehnt nach allen Richtungen; Figuren, die einer gegebenen congruent sind, können in allen Theilen desselben construirt werden; zwischen je zwei Punkten ist nur eine kürzeste Linie möglich, aber der Satz von den Parallellinien trifft nicht zu.


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