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Felix Klein:
Mathematische Physik

Helmholtz

Hermann Helmholtz wurde 1821 als Sohn eines Oberlehrers in Potsdam geboren. Auf Rat seines Vaters entschloß er sich, Arzt zu werden, um, möglichst bald zu einer selbständigen Lebensstellung zu kommen. Er studierte also an der sog. „Pepinière“, der militärärztlichen Hochschule in Berlin, promovierte 1842 mit einer Arbeit „De fabrica systematis nervosi evertebratorum“ und wurde, entsprechend der damit übernommenen Verpflichtung, Militärarzt in Potsdam. Alle mathematischen Kenntnisse erwarb sich Helmholtz durch privates Studium. Wie wenig Verständnis er mit diesen Neigungen in seiner beruflichen Umgebung fand, beleuchtet folgende kleine Geschichte, nach welcher ein Vorgesetzter, als er von Helmholtz' Schrift „Über die Erhaltung der Kraft“ vernahm, zu diesem äußerte: Endlich einmal etwas Praktisches! Er hatte nämlich geglaubt, daß es sich um die Erhaltung der militärischen Leistungsfähigkeit seiner Mannschaften handelte.

Durch Humboldts Vermittlung wurde Helmholtz 1848 Assistent am anatomischen Museum in Berlin, ein Jahr später Professor der Physiologie und Anatomie in Königsberg, welche Fächer er auch in Bonn (1855) und Heidelberg (1858) vertrat. Die Heidelberger Zeit bedeutet vielleicht die Höhe des Helmholtzschen Schaffens. Hier wandte er sich mehr und mehr physikalischen Interessen zu, die ihn 1871, also mit 50 Jahren, als Hauptvertreter der Physik nach Berlin führten. 1888 trat er von seiner akademischen Tätigkeit zurück und verwaltete als Präsident die durch Siemens' Initiative gegründete Physikalisch-technische Reichsanstalt. Er starb 1894.

Schon diese äußere Laufbahn kennzeichnet Helmholtz' überragende, nicht auf ein einzelnes Fach beschränkte Bedeutung. Er war bis zu seinem Tode der eigentliche Repräsentant der exakten Naturwissenschaften vor der Öffentlichkeit, um so mehr, als es ihm gelang, auch gesellschaftlich eine einzigartige Stellung zu gewinnen. Seiner zentralen Bedeutung entsprechend, finden wir sein Denkmal als Mittelpunkt vor der Universität in Berlin aufgestellt, gegen die Straße zu flankiert von Wilhelm und Alexander von Humboldt, weiter rückwärts von Mommsen und Treitschke.

Ein lebendiges Bild von Helmholtz' Wesen und Wirken gibt die große Biographie von Leo Koenigsberger, erschienen in drei Bänden bei Vieweg (1902-03). Seine wissenschaftliche Leistung liegt vor in den gesammelten wissenschaftlichen Abhandlungen in drei Bänden, 1882-95 herausgegeben bei Barth.

Das Charakteristische in Helmholtz' wissenschaftlicher Begabung ist ihre Mannigfaltigkeit bei großer Intensität nach jeder Seite. Eine besondere Gabe des quantitativen Experiments, des Beobachtens und Messens, die er durch selbständige Arbeit bis zur Virtuosität entwickelte, verband sich bei ihm mit einer ebenfalls aus eigener Kraft geschulten Fähigkeit der mathematischen Formulierung. Beides errang ihm die Herrschaft über die aus einem ungewöhnlichen Schatz eindringender Kenntnisse im Gebiet der gesamten Naturwissenschaft geschöpften Probleme. Darüber hinaus aber ermöglichte ihm die Fähigkeit philosophischen Denkens und die Empfänglichkeit für alle Gebiete des Lebens die Erschaffung eines umfassenden, zum Ganzen gerundeten Weltbildes, in das sich die Resultate seiner Forschung organisch einordnen. Im ganzen überwiegt das begriffliche Denken gegenüber anschaulicher Erfassung oder schöpferischer Phantasie. Helmholtz ist kein Biologe, der die breite Mannigfaltigkeit der Lebewesen umspannt und in eine Ordnung zwingt, wie Darwin; er ist kein Entdecker physikalischer Erscheinungswelten wie Faraday, auch kein Mathematiker um der Mathematik selbst willen. Alle Dinge reizen sein Interesse nur im Rahmen des großen naturwissenschaftlichen Ganzen.

Dementsprechend verzehrt sich sein Talent nicht in stürmischer Jugendproduktion; nur auf reicher Erfahrung und in langsamer Entwicklung konnte es reifen, erhält sich dann aber frisch und lebendig bis ins hohe Alter hinein. In anderem Sinne wie Franz Neumann möchte ich auch Helmholtz als einen durchaus preußischen Typ bezeichnen, der in deutlichem Gegensatz steht zu dem süddeutschen oder auch niedersächsischen, wie ihn Gauß, Riemann, Weierstraß vertreten.

Wir können hier nur Helmholtz' mathematische Arbeiten verfolgen und auch bei ihnen nur das Wichtigste hervorheben. Dem Gesagten entsprechend, liegt Helmholtz' Leistung auch hier nicht im Erwerb neuer mathematischer Gedankenansätze, sondern in der Ausdehnung der Herrschaft schon vorhandener auf neue Gebiete. Besonders dankbar wollen wir betonen, daß Helmholtz, gegenüber anderen Strömungen seiner Zeit, die außerordentlichen Leistungen hervorgekehrt hat, welche das mathematische Denken im Dienste allgemeiner Fragen vollbringen kann.

Naturphilosophie, Satz von der Erhaltung der Energie

An erster Stelle nenne ich die kleine Schrift von 1847, die Helmholtz' Ruhm begründete: Über die Erhaltung der Kraft,

Mit heutiger Terminologie würden wir von einer „Erhaltung der Energie“ reden. Helmholtz entwickelt den Gedanken, daß eine Größe, eben die von uns jetzt als „Energie“ bezeichnete, erhalten bleibe, daß darum ein perpetuum mobile —welches durch bloße Anordnung seiner Teile Arbeit aus „Nichts“ erzeugt — undenkbar sei. Dieser Gedanke lag damals in der Luft. Ich will die geschichtlichen Verhältnisse, die wir an vielen Stellen besprochen finden, hier nicht ausführen, sondern nur dies sagen, daß es sich, wenn wir uns auf Mechanik beschränken, um den Satz T + U = h = const. handelt, wo T die kinetische, U die potentielle Energie eines betrachteten mechanischen Systems ist. Nimmt man nun an, wie es zuerst bei Boscovich 1758, bzw. Laplace ca. 1820, und noch in den 40er Jahren allgemein geschah, daß schließlich alle Naturerscheinungen auf dem Spiel punktförmiger Massen beruhen, die sich wechselseitig in Richtung ihres Abstandes r nach irgend einer Funktion f(r) anziehen, so ist die Allgemeingültigkeit eines entsprechenden Theorems für das gesamte Gebiet der Naturgeschehnisse selbstverständlich.

Es war also Helmholtz' Aufgabe weniger, diesen allgemeinen Gedanken zu finden, als vielmehr ihn durch alle ihm zugänglichen Naturerscheinungen hindurch, soweit Messungen vorlagen, mathematisch zu verfolgen. Diese Aufgabe löste er in der Schrift von 1847 insbesondere für die Phänomene der Wärme, der Elektrostatik und Magnetostatik, sowie der Elektrodynamik; er schloß mit Andeutungen über die Geltung desselben Gesetzes für die Lebenserscheinungen.

Später (1887) hat Helmholtz im Anschluß an die noch erst zu nennenden Arbeiten der Engländer dem ganzen Gedankenansatz eine viel weitere Form gegeben. In der Arbeit „Über die physikalische Bedeutung des Prinzips der kleinsten Wirkung“ spricht er die Behauptung aus, daß nicht nur das eine Integral T + U = h, sondern die gesamten Entwicklungen, die sich an die Differentialgleichungen der Mechanik anschließen, auch für alle Erscheinungen der Natur verbindlich sein müssen. Offenbar war diese Erweiterung der schon 1847 begonnenen Übertragung mechanischer Betrachtungen auf physikalische Erscheinungen für Helmholtz kein erzwungener oder auch nur deduzierter Gedanke. Wie er mir in persönlichem Gespräch versicherte — die Reise zur Weltausstellung in Chicago 1893 führte mich auf Hin- und Rückweg für längere Zeit mit ihm zusammen —, war ihm der allgemeine Ansatz in beiden Fällen vollkommen selbstverständlich.

Dennoch ist auch schon in der „Erhaltung der Kraft“ dieser allgemeine Ansatz eine große spezifische Gedankenleistung. Vor Helmholtz schrieb man nämlich (obwohl dies bereits Lagrange in seiner mécanique analytique getan hatte) nicht

T + U = h,
sondern T = U + h oder T - U = h. Hierin war U die sog. „Kräftefunktion“, nicht aber T, sondern 2 T — im elementaren Fall m v2 — die „lebendige Kraft“. Der Satz hieß also in Worten: Die halbe lebendige Kraft, vermindert um die Kräftefunktion bleibt konstant. Erst durch Helmholtz, der U an Stelle von -U setzte, erhielt er die so viel mehr bedeutende, die Vorstellung fixierende und zugleich viel handlichere Form einer konstanten Summe, bei der die aufbauenden Teilgrößen T und U völlig symmetrisch und innerlich gleichwertig auftreten. Erst jetzt kann man von dem „Satz der Erhaltung der Energie“ sprechen.

Der Erfolg der Helmholtzschen Schrift war durchaus nicht ein unmittelbarer. Die physikalische Zeitströmung, die im Widerspruch gegen die vorschnellen Schlüsse der Naturphilosophie entstanden war, hegte die stärkste Abneigung, ja selbst Mißtrauen gegen alles deduktive Denken. So lehnte Poggendorff die Aufnahme der Helmholtzschen Arbeit in die Annalen ab, und erst du Bois-Reymonds Bemühungen gelang es, ihr einen Verleger zu verschaffen. Von den Akademikern Berlins hat nur Jacobi sofort ihre Bedeutung erkannt. Dirichlet ist in allen diesen Auseinandersetzungen nicht hervorgetreten.

Die in den Zeitverhältnissen begründete Ablehnung wird auch den heutigen Leser der Schrift nicht wundernehmen. Schon die Terminologie ist uns befremdlich. Wir sind gewöhnt, nur das Produkt aus Masse und Beschleunigung als „Kraft“ zu bezeichnen. Helmholtz hingegen spricht von der „lebendigen Kraft“ T und der „Spannkraft“ U, woraus sich auch der Titel der Abhandlung erklärt. Ferner geht der eigentlichen Untersuchung eine apriorische Betrachtung voraus, die der strenge Naturforscher nur mit Widerstreben studiert und als zwingend gewiß nicht anerkennen kann. In ihr spiegelt sich Kantischer Einfluß, der Helmholtz das Ideal einer reinen Deduktion aus obersten Grundsätzen vorsetzte. Schließlich sind auch die Einzelausführungen vielfach tastend und unvollständig, dem lückenhaften Literaturstudium entsprechend, wie es sich Helmholtz in seiner Potsdamer Abgeschiedenheit ermöglicht hatte.

Diese Erstlingsarbeit läßt sich stilistisch also nicht etwa vergleichen mit der klassischen Vollendung und Unnahbarkeit, die Gauß von Anfang an besaß und die Helmholtz auch in seinen späteren Arbeiten, welche wir nun betrachten wollen, weder erreichte noch auch nur anstrebte. Es sind dies die großen, gerade für die Mathematik bedeutungsvollsten Schöpfungen der Heidelberger Zeit.

Sie beziehen sich in erster Linie auf die Lehre von den Sinnesempfindungen, auf Auge und Ohr, welche Helmholtz, unterstützt von einer selten feinen, künstlerischer Erfassung fähigen Sinnesorganisation und geleitet von starkem, erkenntnistheoretischem Interesse, zu schaffen ganz besonders befähigt war. Zwei große Werke kommen in Betracht:

  1. 1863: Die Lehre von den Tonempfindungen, als „physiologische Grundlage für die Theorie der Musik“;
  2. 1867: Handbuch der physiologischen Optik, woran sich noch
  3. 1865-70 die erste Ausgabe der weitverbreiteten „populären wissenschaftlichen Vorträge“ schließt. Die letzteren, entstanden aus dem „naturhistorisch-medizinischen Verein“, enthalten schwierigste Probleme in einer auch dem Nichtspezialisten verständlichen, durchsichtigen Form.

Hydrodynamik, Wirbeltheorie

Für uns ist das erstgenannte Werk besonders wichtig, aber mehr noch die mathematisch-physikalischen Arbeiten, die bei den Vorstudien dazu entstanden. Wir nennen die beiden Abhandlungen zur Hydrodynamik:
  1. 1858, Crelle Bd. 55: Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbelbewegungen entsprechen.
  2. 1860, Crelle Bd. 57: Luftschwingungen in Röhren mit offenen Enden.

Die erste enthält die berühmten allgemeinen Sätze über Wirbelbewegung und die besondere Lehre von den Kreiswirbeln(*). Während man sich bis dahin mit dem Studium sog. Potentialbewegungen begnügt hatte, bedeuten diese Sätze einen großen Fortschritt der hydrodynamischen Theorie der sog. idealen Flüssigkeiten in Richtung auf die Erfassung der wirklichen Erscheinungen hin. Länger als andere Gebiete ist ja die Hydrodynamik der mathematischen Behandlung unzugänglich gewesen, weil ihre Differentialgleichungen nicht linear sind. Auch die Helmholtzsche Behandlung ließ noch Verbesserung und Vervollkommnung zu. Wie ich gleich hier bemerken will, wurden seine Sätze weit einfacher abgeleitet von W. Thomson 1868-69 in einer großen Abhandlung „0n Vortex Motion“. In ihr tritt als neues wichtiges Moment der Begriff der Zirkulation der Flüssigkeit längs einer Kurve hervor. Auch in Hinsicht auf Strenge lassen die Helmholtzschen Ausführungen manches vermissen. Dieser Mangel jedoch, der vielen mathematischen Physikern eignet, soll hier nicht betont werden, da er gegenüber dem positiven Wert der Untersuchungen nicht ins Gewicht fällt.

Die zweite Helmholtzsche Abhandlung enthält die ersten, den Greenschen Entwicklungen zur Potentialtheorie entsprechenden Sätze über Δu + k2 u = 0, — die Behandlung von Randwertaufgaben dieser Differentialgleichung, wie wir heute sagen würden. Auch diese Untersuchungen sind nicht etwa streng im Sinne der heutigen Mathematik, sondern durchsetzt mit ungeklärten Anschauungsmomenten, und — eben darum — bahnbrechend.

Im übrigen wurde Helmholtz Ende der 60er Jahre mit Riemanns Schriften bekannt, die sein lebhaftes Interesse erregten, so daß er sie auf allen Reisen mit sich zu nehmen pflegte. Sie waren es vor allem, die Helmholtz allmählich immer mehr von der Physiologie fortführten und für mathematisch-physikalische Fragen gewannen. Die beiden Veröffentlichungen von 1868 geben davon Zeugnis:

  1. Berliner Monatsberichte: Diskontinuierliche Flüssigkeitsbewegungen;
  2. Göttinger Nachrichten: Über die Tatsachen, die der Geometrie zu Grunde liegen.

Die erste Abhandlung bedeutet wiederum einen großen Fortschritt auf eine der Wirklichkeit entsprechende Hydrodynamik hin. Sie behandelt die freie Strahlbildung bei Potentialbewegungen und erledigt in der von Riemann eingeführten Weise die einfachsten Fälle des ebenen Problems durch die Mittel der konformen Abbildung. Das Problem wurde bald von Kirchhoff weitergeführt.

Auch zu der zweiten Abhandlung, die zwar, aus Helmholtz' philosophischem Bedürfnis entspringend, lange in ihm vorbereitet gelegen haben mag, gab Riemann den Anstoß; und zwar durch seine Untersuchungen „Über die Hypothesen, die der Geometrie zu Grunde liegen“, die 1854 bereits als Habilitationsvortrag gehalten, aber erst 1868 veröffentlicht wurden. Wie schon bei früherer Gelegenheit erwähnt, denkt sich Riemann das Bogenelement des Raumes durch eine quadratische Form ds2 =∑ aik dxi dxk gegeben, und schließt daran eine Klassifikation der verschiedenen quadratischen Differentialformen und der ihnen entsprechenden Geometrien. Helmholtz greift noch eine Stufe weiter zurück, indem er von der Existenz frei beweglicher starrer Körper ausgeht und zeigt, daß die Gleichsetzung des ds2 mit einer solchen quadratischen Form — die dann aber gleich spezieller Art ist — bereits notwendig aus dieser Tatsache folgt.

Öffentliche Stellung

Wir haben uns nun schließlich mit Helmholtz' Tätigkeit als Physiker in Berlin zu beschäftigen. Wie wir bereits erwähnten, nahm Helmholtz dort eine große repräsentative Stellung ein. Seine wissenschaftlichen Verpflichtungen bestanden in der Leitung des nun erst eingerichteten physikalischen Instituts und in dem Halten der allgemeinen Vorlesung über Experimentalphysik nebst Spezialvorlesungen über die verschiedensten Teile der mathematischen Physik. Diese wurden später von König, Krigar-Menzel, Runge und Richarz herausgegeben und enthalten in vorzüglich lesbarer Darstellung fast alle Gebiete der theoretischen Physik: Dynamik diskreter Massenpunkte und kontinuierlich verbreiteter Massen, Akustik, Elektrodynamik und Magnetismus, elektromagnetische Lichttheorie, Wärme.

In dieser Form haben die Vorlesungen jedenfalls eine ihrem reichen Gedankeninhalt entsprechendere Wirkung als beim mündlichen Vortrag. Helmholtz behandelte nämlich diesen Teil seiner Lehrtätigkeit (überhaupt seine Vorlesungen) recht stiefmütterlich, indem er sich so gut wie gar nicht auf sein Kolleg vorbereitete, während er doch andererseits nicht zu improvisieren verstand. Der Grund für dies Verhalten ist in der ungeheuren Überlastung zu suchen, der er in Berlin mehr als je ausgesetzt war. Große repräsentative Pflichten nahmen ihn fortwährend in Anspruch. Er war Berater des Ministeriums in allen einschlägigen Fragen, hatte Vertretungen offizieller Art auf internationalen Kongressen zu übernehmen usw. und widmete nebenbei noch einen Teil seiner Zeit und Kraft populären Vorträgen, die ihn im In- und Ausland auf Reisen führten.

Dennoch gelang es Helmholtz durch private Anleitung in seinem Laboratorium eine ganze Reihe wirklich hervorragender Schüler zu erziehen mit freiem Umblick und experimenteller Selbständigkeit, unter denen als der Bedeutendste nur Heinrich Hertz genannt sein möge.

Von den großen Kongressen, auf denen Helmholtz eine Hauptrolle spielte, ist der berühmteste der wesentlich von ihm und William Thomson geführte „elektrische Kongreß“ 1881 in Paris, auf dem unter dem Vorsitz des Verkehrsministers Cochery die internationalen Maße: Volt, Coulomb, Ohm, Ampère, Farad festgelegt wurden. Sehr bedauernswert ist, daß Helmholtz hier die Namen Gauß und Weber, an die sich doch die Entstehung des absoluten Maßsystems auf elektromagnetischem Gebiete wesentlich anknüpft, nicht zu genügender Geltung hat bringen können. Die Bezeichnung „Gauß“ für die Einheit der magnetischen Feldstärke wurde erst später auf englischen Vorschlag durchgesetzt.

Neben den nationalen Gegensätzen mag hier noch ein anderer Umstand hemmend eingewirkt haben, das ist der schon mehrfach erwähnte große Streit um das Webersche elektrodynamische Grundgesetz, in den Helmholtz Anfang der 70er Jahre hineingezogen wurde. Die z. T. sehr heftige Polemik, die auf der Gegenseite von C. Neumann geführt wurde, hat — wie man jetzt wohl sagen darf — als einziges Ergebnis die nicht neue Einsicht gezeitigt, daß derartige Fragen nicht durch Dialektik entschieden werden können, sondern allein durch das Experiment. In dem Augenblick, wo Hertz durch den Versuch nachwies, daß die elektrische Kraft zur Fortpflanzung im leeren Raume Zeit gebraucht, daß sie sich in Wellen ausbreitet, war Webers Gesetz, welches instantane Fernwirkung voraussetzt, überwunden.

Helmholtz hat in seinen Berliner Jahren fast alle Gebiete der mathematischen Physik Revue passieren lassen und, indem er hier und dort eingriff, vielseitige Anstöße gegeben. Am merkwürdigsten in dieser Hinsicht ist mir immer seine 1882 in London gehaltene „Faraday-Lecture“ erschienen, in der klar herausgearbeitet vorliegt, daß wir der Elektrizität — übrigens genau wie Weber es wollte — wegen der elektrochemischen Tatsachen atomistische Struktur beilegen müssen, und sie also nicht mit dem Äther, den wir uns kontinuierlich denken, identifizieren dürfen. Diese Leistung von Helmholtz, die den Ausgangspunkt der heutigen Elektronentheorie bildet, ist um so bewundernswerter, als Helmholtz in seinen ausgeführten Arbeiten immer Phänomenologe geblieben ist.

Ich kann diese hervorragende Persönlichkeit nicht verlassen, ohne auch ihrer Wirkung Grenzen abzustecken, indem ich wenigstens erwähne, daß selbst dieser vielseitigen Auffassung einiges versagt blieb. Ich nenne nur einen Punkt: Seiner begrifflichen, dem eigentlich technischen Geist abgewandten Natur entsprechend pflegte Helmholtz eine fast mißtrauische Zurückhaltung gegenüber jungem stürmischem Erfindergeist. Dieses Verhalten mußte bei seiner ungewöhnlichen Stellung und seinem Einfluß auf die leitenden sowohl als auf die finanziell leistungsfähigen Kreise von großer Wirkung sein. Und in der Tat hat der jüngste Zweig unserer Technik deutlich darunter zu leiden gehabt: die Fliegerkunst. In einer — übrigens in den Einzelresultaten selbstverständlich richtigen — Arbeit von 1873 war Helmholtz auf Grund von Betrachtungen über mechanische Ähnlichkeit zu einer geringen Einschätzung der Möglichkeiten des mechanischen Fluges gelangt. Entstellt durch die laienhafte Auslegung der Öffentlichkeit hat dieses Urteil ganz sicher die Entwicklung länger hintangehalten, als es ihr natürlicher Verlauf verlangt hätte.


Anmerkung:

*) Dieselben Wirbelsätze hat ungefähr gleichzeitig auch Dirichlet gefunden. Dirichlets Untersuchungen wurden unmittelbar nach seinem Tode von Dedekind herausgegeben (vgl. Dirichlets Werke, Bd. 2, S. 363ff).


S. 223-230 aus
Klein, Felix: Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert. - Teil 1. - Berlin : Springer, 1926. - XIII, 385 S.
Signatur UB Heidelberg: L 234:: 24,1.1926

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