Otto Hesse / Gedächtnissrede von Gustav Bauer
Anmerkungen.
1) Die ersten öffentlichen Vorträge über die Géometrie descriptive hielt Monge 1794. — Neben Monge ist noch Carnot zu nennen, dessen Géometrie de Position 1806 und Theorie der Transversalen 1808 erschien. In letzterer fand er mehrere schon von den Alten, sowie von Désargues u. A. gefundene fundamentale Sätze wieder auf, fügte neue derselben Art hinzu und zeigte, welch' bedeutender Ausdehnung dieselben fähig sind. Diese Sätze betreffen projectivische Eigenschaften der Figuren und sind desshalb von Wichtigkeit für die Entwicklung der neuen Geometrie geworden, wie aus Poncelet's Traité des Propr. proj. d. fig. zu ersehen.
2) Die zwei deutschen Gelehrten Plücker und Möbius waren kurze Zeit darauf selbstständig auf dieses Princip gekommen, s. Plücker Anal. Geom. Entw. 1828 und Möbius barycentrischer Calcul. 1827.
3) Ausser Steiner ist hier noch Möbius anzuführen, der in seinem baryc. Calc. 1827 zuerst eine vollständige Darlegung des Doppelverhältnisses (Möbius nennt es „Doppelschnittverhältniss“), der Verwandtschaft der Collineation und Reciprocität gegeben. Auch hat derselbe (J. Crelle Bd. 10. 1833) zuerst die besondere Art von Reciprocität betrachtet, die jetzt nach Staudt „Nullsystem“' genannt wird.
4) Aperçu historique sur l'origine et le développement des methodes en Géometrie, particulièrement de celles, qui se rapportent à la Géometrie moderne 1837 und Géometrie supérieure 1852. Viele seiner Arbeiten fallen vor 1830. Ihm verdankt man besonders die Hereinziehung der nichtprojektivischen Eigenschaften der Figuren in die projektivische Geometrie mittelst des unendlich entfernten imaginären Kugelkreises.
5) „Ueber Curven 3. Ordnung“. J. Crelle Bd. 34 S. 332. „Von Monge habe ich gelernt“ sagt Plücker.
6) „Ueber ein neues Coordinatensystem“. J. Crelle Bd. 5 (1830).
7) Analytisch-geometrische Entwicklungen. Th. II 1831.
8) „Es ist eine der schönsten Erweiterungen der neuen Geometrie, dass wir vermöge
dieser dualen Auffassung der Gebilde, uns einmal eine Curve durch die Bewegung
eines Punktes, das andere Mal durch die Bewegung einer geraden Linie beschrieben
denken. Im ersten Falle brauchen wir um zu dem Begriff einer Curve zu gelangen
durchaus nicht den Begriff einer geraden Linie, das andere Mal brauchen wir hiezu
durchaus nicht den Begriff eines Punkts.“ Plücker, Alg. Curven. 1839. S. 206 Anm.
Uebrigens gebührt auch Möbius ein wesentliches Verdienst an der
Entdeckung der homogenen Coordinaten und der Coordinaten einer Geraden. Die
Bemerkung, dass dreien Punkten A, B, C immer solche Gewichte α, β,
γ beigelegt werden können, dass irgend ein vierter Punkt M ihrer Ebene
Schwerpunkt wird, führte Möbius in seinem baryc. Calcul. (1827) unmittelbar zu einer
neuen Bestimmung der Lage eines Punkts in der Ebene. Möbius schreibt:
9) „Additions to the article, On a new Class of Theorems etc.“ Philos. Mag. Bd. 37 3th Series (1850) S. 363.
10) Introductio in Analysin Infinitorum. Th. II. Anhang. 1748. Nach Chasles „Aperçu hist.“ kannten die Alten von den Flächen 2. Ordnung ausser Cylinder und Kegel nur die durch Umdrehung der Ellipse und der Parabel um ihre Axe erzeugten Flächen.
11) Dieser Schule verdankt man erst die Theorie der Kreisschnitte dieser Flächen, sowie die doppelte Erzeugung des allgemeinen (Nicht-Rotations-) Hyperboloids und des hyperbolischen Paraboloids durch eine bewegliche Gerade. (Für das Rotationshyperboloid ist diese Erzeugungsweise schon von Wren 1669 gefunden worden, nach Chasles' Aperçu hist. S. 239 (Anm.) der Uebers.)
12) Journ. Crelle Bd. 24 (1842) S. 36. Diese Aufgabe ist seitdem vielfach gelöst worden. Wie die hinterlassenen Manuscripte Steiner's ergaben, hatte auch Steiner schon 1836 zwei Lösungen der Aufgabe gefunden , aber dieselben wohl desshalb nicht publicirt, weil sie nicht einfach genug und nicht linear waren. Eine dieser Lösungen ist von C. F. Geiser in vereinfachter Form im Journ. v. Crelle-Borchardt Bd. 68 S. 191 mitgetheilt worden.
13) J. Crelle Bd. 20 S. 285; Bd. 26 S. 147; Bd. 73 S. 371; Bd. 85 S. 304, letztere Arbeit aus den hinterlassenen Papieren von Gundelfinger mitgetheilt.
14) Hesse gibt hier die bekannten Sätze: „Sind zwei Paar
gegenüberliegender Ecken eines vollständigen Vierseits conjugirte Pole in Bezug
auf einen
Kegelschnitt, so gilt dasselbe von dem 3. Paar.“
„Zwei Tripel conjugirter Punkte in Bezug auf einen Kegelschnitt liegen auf einem
andern Kegelschnitt“ und dazu den analogen Satz im Raum: „Zwei Polartetraeder
einer Fläche 2. Ordnung sind so gelegen, dass alle Oberflächen 2. Ordnung durch 7
ihrer Ecken gehend auch durch den 8ten gehen.“ Mittelst dieses Satzes
gelingt Hesse die Construction des 8ten Schnittpunkts dreier Flächen 2.
Ordnung aus den 7 andern.
In einem spätern Aufsatze (J. Crelle Bd. 26 S. 147) gibt Hesse noch eine andere
Lösung der Aufgabe auf rein synthetischem Wege, durch Construction von
Sechsecken auf einem Hyperboloid.
15) Leibnitz mathem. Schriften, herausgegeben von G. L. Gerhardt. I. Abth. Bd. 2 S. 239.
16) De formatione et proprietatibus determinantium. J. Crelle Bd. 22 (1841) S. 285.
17) Philos. Mag. Vol. I. 4th Ser. 1851. S. 295.
18) Das sogenannte dialytische Verfahren von Sylvester (Phil. Mag. 1840). Hesse war selbstständig darauf gekommen, ohne von der frühern Abhandlung Sylvester's Kenntniss zu haben. J. Crelle Bd. 27 (1844).
19) Die hier besprochene Abhandlung im 28. Bd. des J. Crelle (1844) S. 68 ist betitelt
„Ueber die Elimination der Variablen aus drei alg. Gleichungen 2ten
Grads mit 2 Variablen.“ Die Sätze, mittelst welcher er die Elimination bewirkt,
beruhen auf den Eigenschaften der Funktional- (Jacobi'schen)
Determinante der drei Formen.
Weitere Anwendung dieser Sätze in allgemeinerer Form gibt Hesse im J. Crelle Bd. 41
(1850) S. 285 „Ueber die homogenen Funktionen 3. und 4.
Ordnung zwischen 3 Variablen.“
20) Hesse bestimmt die Anzahl der Wendepunkte einer Curve, indem er von dem Krümmungshalbmesser ausgeht und nachweist, wie bei algebraischen Curven durch Einführung homogener Coordinaten im Nenner eine Reduktion um zwei Einheiten im Grade eintritt. In ähnlicher Weise tritt eine Reduktion von zwei Einheiten im Grade in dem Produkt der zwei Hauptkrümmungsradien einer Fläche ein, und dadurch entsprechende Reduktion im Grade der parabolischen Curve. J. Crelle Bd. 28 (1844) S. 97.
21) Der geometrische Satz folgt aus der von Hesse gefundenen Eigenschaft der Determinante H einer cubischen Form f, dass die Determinante der Form λf + μH sich wieder in derselben Form nur mit andern Constanten λ, μ ergibt. Dieser fundamentale Satz der ternären cubischen Formen diente ihm eben zur Reduction der cubischen Form auf die canonische Form in der vorhergehenden Abhandlung „Ueber die Elimination etc.“
22) Ausser der schon angeführten Abh. J. Crelle Bd. 28 S. 97 siehe ebendas. Bd. 36 S. 143; Bd. 38 (1849) S. 241 und S. 257. Unter anderm betrachtet Hesse auch zuerst die Curve 3. Classe, welche von den Verbindungslinien zweier conjugirter Punkte der Hesse'schen Curve umhüllt wird und nun die Cayley'sche Curve genannt wird (Bd. 38 S. 241).
23) „Allgemeine Auflösung des 9ten Grads etc.“ J. Crelle Bd. 34 (1847) S. 193. Ueber die Auflösung dieser Gleichung Hesse's siehe auch Aronhold „Zur Theorie der homogenen Funktionen 3ten Grads von 3 Variabeln.“ J. Crelle Bd. 39 S. 140; ferner Clebsch, Theorie der binären Formen S. 234, und Camille Jordan, Traité des Substitutions p. 302.
24) De linearum geometricarum proprietatibus generalibus tractatus. London, 1748.
25) System der analytischen Geometrie. S. 284.
26) Hesse selbst hat noch zwei Beispiele solcher auflösbarer „geometrischer“ Gleichungen gegeben; die eine ist die Gleichung 6ten Grads, welche die Auflösung einer biquadratischen Gleichung vermittelt, J. Crelle Bd. 41 (1850) S. 243 (s. hierüber auch Clebsch „Binäre Formen“ § 45): die andere diejenige Gleichung 6ten Grads, deren Wurzeln sechs Punkte einer Involution auf einer Geraden darstellen. J. Crelle Bd. 41 S. 264.
27) Die Sätze von Galois, 1831 der Pariser Akademie vorgelegt, wurden erst 1846 im Journ. von Liouville T. XI veröffentlicht.
28) Im J. Crelle Bd. 38 (1849) S. 262 „Transformation einer beliebigen homogenen
Function 3ten Grads in 2 Variablen etc.“ zeigt Hesse, dass die
Auflösung einer cubischen Gleichung wesentlich auf die Zerlegung der in diesem Falle
quadratischen Determinante der cubischen Form in ihre Faktoren
zurückkommt.
In der Abhandlung „Transformation einer beliebigen homogenen Funktion
4ten Grads von zwei Variabeln etc.“ J. Crelle Bd. 41 (1850) S. 243 bemerkt
Hesse, dass, wie bei der cubischen ternären Form, so auch bei der biquadratischen
binären Form die Determinante von demselben Grad ist, wie die Form, aus der sie
abgeleitet. Er weist nach, dass bei beiden Formen eine auffallende Analogie statt hat,
indem, wenn f die biquadratisehe Form, H ihre Determinante ist, die
Determinante von λf + μH sich wieder in derselben Form ergibt, wie das
bei der cubischen ternären Form statt hat; er zeigt, wie dadurch die Auflösung der
biquadratischen Form vermittelt wird; er weist ferner die Auflösbarkeit der Gleichung T
= 0 nach, wenn T die Covariante 6ten Grads von f ist und gibt deren
geometrische Deutung (s. hierüber Clebsch, „Binäre Formen“ §§ 44, 45 u. 51).
29) Hesse gibt den allgemeinen Satz: das identische Verschwinden der Determinante sei die Bedingung, unter welcher eine homogene ganze Funktion von n Variablen durch lineare Substitution auf eine homogene Funktion von weniger Variabeln sich zurückführen lasse. J. Crelle Bd. 42 (1851) S. 117. Er kam auf diesen Satz zurück, um ihn näher zu begründen, im J. Crelle Bd. 56 (1859) S. 263. Aber wie seitdem Max Nöther nachgewiesen hat, ist der Satz für mehr als 4 Variabeln nicht mehr allgemein richtig (Sitz.-Ber. der phys.-medic. Societät zu Erlangen 1876).
30) Auch die elegante Form, in welche Hesse die Gleichung der Schmiegungsebene einer Curve doppelter Krümmung bringt, welche der Schnitt zweier algebraischen Flächen ist, verdient hier noch erwähnt zu werden. Es zeigt sich hier bei Anwendung homogener Coordinaten ebenfalls eine Reduktion im Grad in Bezug auf die Coordinaten des Berührungspunkts um zwei Einheiten. J. Crelle Bd. 41 (1850) S. 272.
31) J. Crelle Bd. 40 S. 237 „Beweis des Satzes etc.“
32) Der von Plücker in seiner Theorie der algebraischen Curven (S. 231) gegebene Satz über Doppeltangenten einer Curve 4. Ordnung ist in seiner Allgemeinheit nicht gültig; und daher auch die Berechnung der Anzahl der Kegelschnitte, welche durch 8 Berührungspunkte gehen (S. 246), unrichtig.
33) Der Brief ist, J. Crelle Bd. 40 S. 260, als Anhang zu dem Aufsatz Jacobi's über die Anzahl der Doppeltangenten abgedruckt. Die Gleichung der Curve 14. Ordnung ist in dem Briefe gegeben. In Bd. 41 S. 285 „Ueber homogene Funktionen 3. und 4. Ordnung zwischen 3 Variabeln“ wird sie abgeleitet. Hesse kommt auf die Gleichung der Curve 14. Ordnung zurück J. Crelle Bd. 52 (1856) S. 97. Dieselbe Curve, sowie die 7 Kegelschnitte durch die 56 Berührungspunkte hat wohl Salmon um dieselbe Zeit wie Hesse gefunden (A Treatise on higher plane curves, 1852 p. 89 u. 198.)
34) J. Crelle Bd. 49 (1855) S. 243 „Ueber Determinanten und ihre Anwendung in der Geometrie, insbesondere auf Curven 4. Ordnung“ und als Fortsetzung: S. 279 „Ueber die Doppeltangenten der Curve 4. Ordnung.“ Die beiden Abhandlungen datiren vom Jahre 1853. Die Abhandlung Steiner's (ebendas. S. 265) enthält nur Sätze ohne Beweis. Hesse wurde durch diese Arbeit Steiner's veranlasst, nochmals auf den Gegenstand zurückzukommen, um die Uebereinstimmung beider Arbeiten zu zeigen, J. Crelle Bd. 55 (1858) S. 83.
35) Hesse führt das Problem der Doppeltangenten auf die Transformation des gegebenen
Ausdrucks 4. Ordnung von 3 Variabeln in die Form einer
symmetrischen Determinante mit linearen Elementen zurück. Determinantenrelationen
liefern ihm sodann Sätze über Berührungscurven 3ten und 2ten
Grads. Die
Doppeltangenten treten hierauf in diese Sätze als Theile zerfallener Berührungscurven
ein.
In der zweiten Abhandlung geht er von den Kegeln aus, welche durch die 8 Punkte
gehen, in denen sich drei Flächen 2. Ordnung schneiden. Die Parameter derselben
genügen einer Determinantengleichung, die als allgemeine Curve 4.
Ordnung in der Ebene angesehen werden kann. Dadurch ist die ebene Curve mit der
Raumcurve 6. Ordnung, in welcher die Spitzen dieser Kegel liegen, in Beziehung
gebracht. Hesse zeigt sodann, dass die Gerade, welche zwei der 8 Punkte verbindet, diese
Curve in zwei Punkten trifft, welche den
Berührungspunkten einer Doppeltangente der Curve 4. Ordnung entsprechen.
36) In seiner Geometrie des Raums sind besonders hervorzuheben: die 20. Vorl. über Transformation homogener Formen 2. Ordnung durch lineare Substitution, worin eine frühere Arbeit (J. Crelle Bd. 45 (1853) S. 93) aufgenommen ist; dann die 27. Vorl. die Bedingungen für Rotationsflächen enthaltend, wobei er an Jacobi'sche Relationen anknüpft und die Kummer'sche Zerlegung des verschwindenden Ausdrucks in eine Summe von Quadraten gibt (J. Crelle-Borch. Bd. 57 (1860) S. 175 und Bd. 60 (1862) S. 305); ebenso die 28. Vorl. die Zerlegung der Bedingungsgleichung für Kreisschnitte enthaltend; endlich die 22. Vorl., worin Hesse an dem beim Hauptaxenproblem auftretenden Formeln passende Veränderungen anbringt und dadurch gewisse Differentialausdrüeke der rechtwinkligen Coordinaten in solche der elliptischen Coordinaten überführt. Die Integration der Differentialgleichungen für die Krümmungscurven und geodätischen Linien auf Flächen 2. Ordnung wird hiedurch wesentlich vereinfacht. Aehnliche Uebertragung auf das Problem der Axen eines Schnitts angewandt, s. Gundelfinger, J. Crelle-Borch. Bd. 85 (1878) S. 80.
37) J. Crelle-Borch. Bd. 54 (1857) S. 227. Damit wirkliches Maximum oder Minimum
stattfinde, darf die 2. Variation des Integrals nicht verschwinden. Diese Untersuchung
führt auf neue Differentialgleichungen, deren Integration jedoch aus der der
Differentialgleichungen der 1. Variation abgeleitet werden kann, wie Jacobi in einer
berühmten Abhandlung (J. Crelle Bd. 17) gezeigt hat. Hesse versucht die eigentliche
Quelle aufzudecken, aus der Jacobi seine Resultate schöpfte; und sodann die Jacobi'sche
Transformation der 2. Variation auf die Spitzer'sche (Sitz.-Ber. der Wiener Ak. 1854 S.
1014) zurückzuführen.
Besondere Schwierigkeiten macht hiebei die nöthige Beschränkung überzähliger Constanten, welche in die Form
eingehen und durch Bedingungsgleichungen an einander gebunden sind.
Bei der Analyse kommen besonders die Eigenschaften der homogenen
Funktionen 2ten Grads und die Theorie der Determinanten zur Verwendung und die Gewandtheit, welche
Hesse in diesen Theorien besass, mag ihn wohl hauptsächlich veranlasst haben, dieses Problem in Angriff zu
nehmen.
38) Die Uebertragung wird bewerkstelligt mittelst eines festen in der Ebene angenommenen Kegelschnitts. Unter Zugrundelegung eines festen Kegelschnitts lässt sich mithin die projektivische Geometrie der Ebene auf die Geometrie der Punkte einer Geraden zurückführen, d. h. auf die Theorie der binären Formen (siehe F. Klein „Vergleichende Betrachtungen der neuern geom. Forschung“ (1872) S. 17, § 5).
39) Hiezu gehören ein elementares Werkchen über „Determinanten,“ sowie einzelne „Vorlesungen über die
analytische Geometrie der Kegelschnitte,“ wodurch er die früher erschienenen Vorlesungen über die analytische
Geometrie der Ebene ergänzen wollte. Von andern Arbeiten der Münchner Periode führe ich nur an „Ein Cyclus
von Determinantengleichungen (eine analytische Erweiterung des Pascal'schen Theorems)“ in d. Abh. d. Münchner
Ak. Bd. XI 1. Abth. 1871. S. 175. Das Pascal'sche Theorem hatte Hesse viel beschäftigt, schon in der Königsberger
Periode (J. Crelle Bd. 41 (1850) S. 269) und besonders in Heidelberg (analytische Geom. der Ebene, 12. Vorl.). Es
handelt sich in diesen Arbeiten wesentlich um die besondere Lage, welche die 15 Plücker'schen Geraden und die 20
Steiner'schen Punkte darbieten; Hesse hat diese Figur in höchst eleganter Weise durch ein System analytischer
Relationen dargestellt. In seinem „Cyclus von
Determinanten-Gleichungen“ betrachtet er geränderte Determinanten, welche ein ähnliches System von Relationen
erfüllen.
Um die Erklärung der Reciprocität, welche die vollständige Figur des
Hexagramm's beherrscht, hat sich Hesse in Heidelberg vergeblich bemüht
(J. Crelle-Borch. Bd. 68 (1868) S. 193
„Ueber die Reciprocität etc.“) Siehe hierüber meine Abhandlung „Ueber das Pascal'sche Theorem“ in den Abh. d.
k. b. Ak. d. W. II. Cl. XL Bd. III. Abth. 1874.
Letzte Änderung: 04.01.2010 Gabriele Dörflinger
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