German Title: Lokale Maximum-Likelihood-Schätzung von zeitabhängigen Parameterfunktionen in dynamischen Interaktionsnetzwerken

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Abstract

In the present thesis we are interested in modelling the behaviour of actors in a network in dependence of explanatory variables which give information about every pair of actors. The behaviour is here expressed in interactions which the actors may cast amongst each other. Our model is based on a survival analysis idea: We assume that the interaction times between any two actors are encoded in a counting process such that we observe a counting process for any pair of actors. The intensity functions of these counting processes are then assumed to depend on the covariates in a certain parametric way. We allow that the parameters are time dependent functions, thereby the model becomes non-parametric. We present a rigorous analysis of the asymptotics of a non-parametric estimator based on a local likelihood approach. This includes point-wise asymptotics of the estimated parameter curves as well as asymptotics for an $L^2$-type test statistic.

In order to carry out the mathematical analysis of these terms we introduce three ideas to handle the complex dependence structure on the network. These provide different tools for handling covariances and proving concentration inequalities which might be of independent interest.

The theoretical analysis is complemented with an application to real-world data: We investigate the impact of different network quantities on a bike sharing network.

Translation of abstract (German)

Wir interessieren uns für das Verhalten von vernetzten Akteuren in Abhängigkeit von Kovariaten, welche Informationen über jedes Paar von Akteuren enthalten. Hierbei können zwei Akteure durch Interaktionen miteinander in Kontakt treten. Wir modellieren diese Interaktionen durch Methoden der Survival Analysis: Für jedes Paar von Akteuren beobachten wir einen Sprungprozess, der die Anzahl der Interaktionen zwischen diesen beiden Akteuren sowie deren Zeitpunkte kodiert. Die Intensitätsfunktionen dieser Zählprozesse modellieren wir in parametrischer Art und Weise abhängig von den Konvariaten. Wir erlauben dabei, dass der Parameter eine zeitlich veränderliche Funktion ist, dadurch wird das Modell nicht-parametrisch. Wir untersuchen das asymptotische Verhalten eines lokalen maximum Likelihood Schätzers. Dies beinhaltet punktweise Asymptotik der geschätzten Parameterfunktion sowie einer $L^2$ Teststatistik. Um die mathematische Analyse durchzuführen, stellen wir drei Ideen vor, mit denen die Abhängigkeiten in einem Netzwerk beschrieben werden können. Diese liefern Möglichkeiten um Kovarianzen abzuschätzen und Konzentrationsungleichungen zu beweisen. Dies könnte auch unabhängig von unserem konkreten Kontext interessant sein. Die theoretische Betrachtung wird durch eine Anwendung auf einen realen Datensatz über Leihfahrräder vervollständigt.