German Title: Relative algebraische K-Theorie und algebraische zyklische Homologie

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Abstract

Since its introduction over 40 years ago algebraic K-theory, which provides powerful invariants, still remains hard to compute. The subject of this work is the construction of an isomorphism between relative algebraic K-groups and relative algebraic cyclic homology in low dimensions, for certain nilpotent ideals. This isomorphism generalizes the Theorem of Goodwillie concerning rational algebras and provides a more accessible alternative to topological cyclic homology for the computation of algebraic K-groups.

Following roughly the strategy of Goodwillie, the proof is structured into several parts of varying interdependencies. First, we construct a natural isomorphism between group homology and Lie ring homology of certain associated groups and Lie rings. This represents an integral generalization of a Theorem of Pickel concerning nilpotent groups and also provides a strategy for an integral version of the Theorem of Lazard concerning p-valued groups, which both considered homology with rational coefficients. The theory provides a bridge in form of a natural logarithm map from the homology of the multiplicative to that of the additive K-theory. Second, we prove that the low-dimensional homotopy groups of an infinite loop space can be identified with the primitive part of its homology by using an improved version of the Hurewicz map. This represents a variant of a Theorem of Beilinson linking both objects up to isogeny. We apply this to the infinite loop space of relative K-theory. Similarly by using an additive analogue we compute the primitive part of the homology of the Lie algebra homology of matrices as cyclic homology. This can be considered as an integral generalization of the Theorem of Loday, Quillen and Tsygan. Combining the single steps we are constructing the desired isomorphism between K-theory and cyclic homology and also compare it with the negative Chern character. Alongside the proofs we provide a comprehensive collection of required abstract tools of simplicial homotopy theory.

As an application of the main theorem we compute the lower relative K-groups of truncated polynomial rings over a subring of the rationals. This shows that our Theorem can be used to obtain new results in the computation of K-groups.

Translation of abstract (German)

Seit ihrer Einführung vor mehr als 40 Jahren bleibt die K-Theorie, als Lieferant mächtiger Invarianten, schwer zu berechnen. Thema der vorliegenden Arbeit ist die Konstruktion eines Isomorphismus zwischen relativer algebraischer K-Theorie und relativer algebraischer zyklischer Homologie in niedrigen Dimensionen für gewisse nilpotente Ideale. Dieser Isomorphismus verallgemeinert den Satz von Goodwillie über rationale Algebren und bietet eine einfacher zugängliche Alternative zur topologischen zyklischen Homologie für die Berechnung algebraischer K-Gruppen.

Der Beweis orientiert sich grob an der Strategie von Goodwillie und kann in verschiedene Teile gegliedert werden, die mehr oder weniger unabhängig voneinander sind. Zunächst konstruieren wir einen natürlichen Isomorphismus zwischen Gruppen- und Lie Ring-Homologie für gewisse assoziierte Gruppen und Lie Ringe. Dieser bildet eine ganzzahlige Verallgemeinerung eines Satzes von Pickel ̈über nilpotente Gruppen und bietet gleichzeitig eine Beweisstrategie des Satzes von Lazard über p-bewertete Gruppen. Diese beiden Sätze treffen lediglich Aussagen für rationale Koeffizienten. Die Theorie bildet eine Brücke in Form einer natürlichen Logarithmusabbildung von multiplikativer in additive K-Theorie. Darüber hinaus zeigen wir, dass die Homotopiegruppen eines unendlichen Schleifenraums in niedrigen Dimensionen mit dem primitiven Teil seiner Homologie identifiziert werden kann. Dies ist eine Variante eines Satzes von Beilinson, welcher beide Objekte bis auf Isogenie in Verbindung setzt. Wir wenden dies für den unendlichen Schleifenraum der relativen K-Theorie an. Mittels einer additiven Version dieses Satzes berechnen wir, dass der primitive Teil der Lie Algebren-Homologie von Matrizen mit der zyklischen Homologie übereinstimmt. Dies bildet eine integrale Verallgemeinerung des Satzes von Loday, Quillen und Tsygan. Das Zusammenspiel der verschiedenen Teilschritte ermöglicht schließlich die Konstruktion des gewünschten Isomorphismus zwischen K-Theorie und zyklischer Homologie. Weiterhin vergleichen wir diesen mit dem negativen Chern Charakter. Im Rahmen der einzelnen Beweisschritte stellen wir außerdem eine beachtliche Sammlung abstrakter Werkzeuge aus der simplizialen Homotopietheorie zusammen.

Als Anwendungsbeispiel berechnen wir die ersten relativen K-Gruppen abgeschnittener Polynomringe über einem Teilring der rationalen Zahlen. Dies zeigt, dass unser Satz neue Möglichkeiten zur Berechnung der K-Gruppen eröffnet.