German Title: Theoretische Behandlung diverser Frequenzverschiebungen in Penningfallen mittels klassischer Störungstheorie

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Abstract

The ideal Penning trap consists of a homogeneous magnetic field and an electrostatic quadrupole potential. In this configuration, the three characteristic eigenfrequencies of a trapped particle do not depend on its motional amplitudes from a classical point of view. However, this three-fold harmonicity of the eigenmotions is compromised by higher-order terms in the magnetic field and electric potential, and ultimately by special relativity. Understanding the systematic effect of these deviations on the motional frequencies is crucial for accurate measurements.

This thesis calculates numerous frequency-shifts in the framework of classical perturbation theory working with equations of motion for the particle's trajectory. Starting from a general parametrization of cylindrically-symmetric electric and magnetic imperfections in cylindrical coordinates, it is shown how to calculate the corresponding first-order frequency-shift consistently. Relativistic frequency-shifts are handled perturbatively in the relativistic equations of motion rather than via a quantum-mechanical operator formalism. Other frequency-shifts considered include the effect of a slightly elliptic quadrupole potential, the interaction of an ion with its image charges induced in the trap electrodes, and a small modulation of the quadrupole potential. The frequency-shifts derived are translated into shifts under the operation mode of locked axial-frequency used by the THe-Trap experiment.

Translation of abstract (German)

Die ideale Penningfalle besteht aus einem homogenen Magnetfeld und einem elektrostatischen Quadrupolpotential. Aus klassischer Sicht hängen die drei charakteristischen Eigenfrequenzen eines in dieser Anordnung gespeicherten Teilchens nicht von seinen Bewegungsamplituden ab. Diese dreifache Harmonizität der Eigenbewegungen wird jedoch von höheren Beiträgen zum magnetischen Feld und elektrischen Potential sowie letztlich der speziellen Relativitätstheorie außer Kraft gesetzt. Für genaue Messungen ist es unabdingbar, den systematischen Einfluss dieser Abweichungen auf die Bewegungsfrequenzen zu verstehen.

In dieser Arbeit wird mit klassischer Störungstheorie eine Vielzahl von Frequenzverschiebungen aus der Bewegungsgleichung des Teilchens hergeleitet. Ausgehend von einer Parametrisierung zylindersymmetrischer Feldfehler in Zylinderkoordinaten wird gezeigt, wie sich die zugehörige Frequenzverschiebung konsistent in erster Ordnung berechnen lässt. Statt über einen quantenmechanischen Operatorformalismus wird die relativistische Frequenzverschiebung mittels der relativistischen Bewegungsgleichung behandelt. Weitere betrachtete Frequenzverschiebungen betreffen den Einfluss eines leicht elliptischen Quadrupolpotentials, die Wechselwirkung des Ions mit seinen Bildladungen, die es in den Fallenelektroden influenziert, und eine schwache Modulation des Quadrupolpotentials. Die so gewonnenen Frequenzverschiebungen werden in eine Verschiebung im speziellen Betriebsmodus des THe-Trap-Experiments mit stabilisierter Axialfrequenz umgerechnet.