German Title: Effiziente zielorientierte globale Fehlerschätzung für Verfahren vom BDF-Typ mittels diskreten Adjungierten

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Abstract

This thesis develops estimation techniques for the global error that occurs during the approximation of solutions of Initial Value Problems (IVPs) on given intervals by multistep integration methods based on Backward Differentiation Formulas (BDF). To this end, discrete adjoints obtained by adjoint Internal Numerical Differentiation (IND) of the nominal integration scheme are used. For this purpose, a bridge between BDF methods and Petrov-Galerkin Finite Element (FE) methods is built by a novel functional-analytic framework. Goal-oriented global error estimators are derived in analogy to the Dual Weighted Residual methodology in Galerkin methods for Partial Differential Equations. Their asymptotic behavior, their accuracy in BDF methods with variable order and stepsize as well as their applicability for global error control are investigated. The novel results presented in this thesis include: i) a functional-analytic framework for IVPs in Ordinary Differential Equations (ODEs) in the Banach space of continuously differentiable functions. This framework is needed since the classical Hilbert space setting is not suitable to analyze the relation between the discrete values of the adjoint IND scheme and the solution of the adjoint IVP. The new framework gives rise to the definition of weak solutions of adjoint IVPs. ii) a Petrov-Galerkin FE discretization of the function spaces that allows to transform the variational formulations of the IVP and of its adjoint IVP into finite dimensional problems. The equivalence of these finite dimensional problems to BDF methods with variable but prescribed order and stepsize and their adjoint IND schemes is shown. Thus, the FE approximation of the weak adjoint is determined by the discrete values of the adjoint IND scheme and discretization and differentiation commute in the developed framework. iii) a proof that the values of the adjoint IND scheme corresponding to a BDF method with constant order and stepsize converge to the solution of the adjoint IVP on the open interval. In addition, a proof is given that demonstrates the convergence of the FE approximation to the weak solution of the adjoint IVP on the entire interval. iv) goal-oriented global error estimators for BDF methods that weight, for each integration step, a local error quantity with the corresponding value of the adjoint IND scheme and yields in sum an accurate and efficient estimate for the actual error. As local error quantity defect integrals and local truncation errors are employed, respectively. v) strategies for goal-oriented global error control in BDF methods that either adapt the locally acting relative tolerance or the given integration scheme using the stepwise error indicators. vi) an ODE model of an exothermic, self-accelerating chemical reaction with mass transfer carried out in a discontinuous Stirred Tank Reactor. With this real-world example from chemical engineering the applicability and reliability of the novel techniques for the approximation of weak adjoints and for the simulation with goal-oriented global error control are shown.

Translation of abstract (German)

Die vorliegende Arbeit entwickelt Techniken zur Schätzung des globalen Fehlers, der bei der näherungsweisen Bestimmung von Lösungen von Anfangswertaufgaben (engl. Initial Value Problems, kurz IVPs) auf gegebenen Intervallen mit Mehrschrittverfahren basierend auf Rückwärtsdifferenzenformeln (engl. Backward Differentiation Formulas, kurz BDF) entsteht. Es werden dazu diskrete Adjungierte benutzt, die durch adjungierte Interne Numerische Differentiation (IND) des nominellen Integrationsschemas gewonnen werden. Zu diesem Zweck wird mit Hilfe einer neuen funktional-analytischen Formulierung die Brücke zwischen BDF-Verfahren und Petrov-Galerkin Finite-Elemente (FE)-Verfahren geschlagen. In Analogie zur Methodik der dual-gewichteten Residuen (engl. Dual Weighted Residuals) bei Galerkin-Verfahren für partielle Differentialgleichungen werden zielorientierte globale Fehlerschätzer entwickelt. Ihr asymptotisches Verhalten, ihre Genauigkeit bei BDF-Verfahren mit variabler Ordnung und Schrittweite sowie ihre Anwendbarkeit zur globalen Fehlersteuerung werden untersucht. Die neuen Ergebnisse dieser Arbeit umfassen: i) eine funktional-analytische Formulierung von IVPs bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (engl. Ordinary Differential Equations, kurz ODEs) im Banachraum der stetig differenzierbaren Funktionen. Diese wird benötigt, da die klassische Hilbertraum-Formulierung es nicht erlaubt den Zusammenhang zwischen den diskreten Werten des adjungierten IND-Schemas und der Lösung des adjungierten IVP zu untersuchen. Die neue Formulierung führt zur Definition von schwachen Lösungen von adjungierten IVPs. ii) eine Petrov-Galerkin FE-Diskretisierung der Funktionenräume, die es erlaubt die Banachraum-Formulierungen des IVP und seines Adjungierten in endlich- dimensionale Probleme zu überführen. Es wird die Äquivalenz dieser endlich-dimensionalen Probleme zu BDF-Verfahren mit variabler, aber vorgegebener Ordnung und Schrittweite und ihren adjungierten IND-Schemata gezeigt. Somit wird die FE-Näherung der schwachen Adjungierten aus den diskreten Werten des adjungierten IND-Schemas bestimmt und Diskretisierung und Differentiation kommutieren in der entwickelten Formulierung. iii) einen Beweis dafür, dass die Werte des adjungierten IND-Schemas eines BDF-Verfahrens mit konstanter Ordnung und Schrittweite auf dem offenen Intervall gegen die Lösung des adjungierten IVP konvergieren. Des Weiteren wird ein Beweis dafür gegeben, dass die adjungierte FE-Näherung auf dem gesamten Intervall gegen die schwache Lösung des adjungierten IVP konvergiert. iv) zielorientierte globale Fehlerschätzer für BDF-Verfahren, welche für jeden Integrationsschritt eine lokale Fehlergröße mit dem entsprechenden Wert des adjungierten IND-Schemas gewichten und in Summe eine genaue und effiziente Schätzung des tatsächlichen Fehlers liefern. Als lokale Fehlergröße kommen Defekt-Integrale und lokale Abschneidefehler zum Einsatz. v) Strategien zur zielorientierten globalen Fehlersteuerung für BDF-Verfahren, die entweder die lokal wirkende relative Toleranz oder – mit Hilfe der schrittweisen Fehlerindikatoren – das vorhandene Integrationsschema anpassen. vi) ein ODE-Modell einer exothermen, selbst-beschleunigenden chemischen Reaktion mit Stoffübertragung, die in einem diskontinuierlichen Rührkessel durchgeführt wird. Mit Hilfe dieses Anwendungsbeispieles aus dem Chemieingenieurwesen werden Verwendbarkeit und Zuverlässigkeit der neuen Techniken zur näherungsweisen Bestimmung von schwachen Adjungierten und zur Simulation mit zielorientierter globaler Fehlersteuerung gezeigt.